Conséquences de la stricte croissance de la fonction exponentielle

La stricte croissance de la fonction exponentielle permet de déduire les équivalences suivantes.

Propriétés

Pour tous réels \(x\) et \(y\), on a :

• \(\text{e}^x = \text{e}^y \Leftrightarrow x= y\)
  
• \(\text{e}^x < \text{e}^y \Leftrightarrow x < y\)
  
• \(\text{e}^x > \text{e}^y \Leftrightarrow x > y\)
  

Ces équivalences permettent de résoudre des équations et des inéquations d'inconnue réelle \(x\) comprenant des fonctions exponentielles.

Exemples

On résout dans \(\mathbb R\) les équations et inéquations suivantes. 
1. La solution de l'équation \(\text{e}^x =\text{e}^7\) est \(x = 7\). On écrit l'ensemble solution : \(S = \{7\}\).
2. Les solutions de l'inéquation \(\text{e}^x \geqslant \text{e}^6\) sont les réels \(x\) tels que \(x \geqslant 6\). On écrit l'ensemble solution : \(S = [6~ ; +\infty [\).
3. Les solutions de l'inéquation \(\text{e}^x < \text{e}^{-4}\) sont les réels \(x\) tels que \(x < -4\). On écrit l'ensemble solution : \(S =~ ] - \infty ~; -4[\).